Question

13．離心率為$\frac{3}{4}$的橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），P∈C，且P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為16，則，橢圓C的方程為$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$．

Answer 1

分析 由題意可知：橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=16，即a=8，則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，解得：c=6，則b²=a²-c²=64-36=28，即可求得橢圓C的方程．

解答 解：由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，
由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=16，即a=8，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，解得：c=6，
則b²=a²-c²=64-36=28，
∴橢圓C的方程：$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$，
故答案為：$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查橢圓定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．