Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥2對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用a=3，化簡不等式，通過分類討論取得絕對(duì)值求解即可．
（2）利用函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）≥5，即|x-1|+|x-3|≥5，
①當(dāng)x≥3時(shí)，不等式即x-1+x-3≥5，解得$x≥\frac{9}{2}$；
②當(dāng)1＜x＜3時(shí)，不等式即x-1+3-x≥5，x無解；
③當(dāng)x≤1時(shí)，不等式即1-x+3-x≥，解得$x≤-\frac{1}{2}$．
綜上，不等式f（x）≥5的解集為$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．
（2）∵f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，
∴f（x）_min=|a-1|．
∵f（x）≥2對(duì)任意x∈R恒成立，
∴|a-1|≥2，解得a≤-1或a≥3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立絕對(duì)值不等式的解法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．