Question

13．函數(shù)f（x）=|x+1|-|2-x|．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若m，n∈R⁺，$\frac{4}{n+1}+\frac{1}{2m+1}=1$，求證：n+2m-f（x）＞0恒成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，利用1的代換，先求出n+2m的最小值，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出f（x）的最大值，進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）由f（x）＜0得f（x）=|x+1|-|2-x|＜0，即|x+1|＜|x-2|，
平方得x²+2x+1＜x²-4x+4，即6x＜3，
得x＜$\frac{1}{2}$，即不等式的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$）．
（2）∵n+2m+2=n+1+2m+1=（n+1+2m+1）（$\frac{4}{n+1}$+$\frac{1}{2m+1}$）=4+1+$\frac{4（2m+1）}{n+1}$+$\frac{n+1}{2m+1}$≥5+2$\sqrt{\frac{4（2m+1）}{n+1}•\frac{n+1}{2m+1}}$=5+4=9，
∴n+2m≥9-2=7，當(dāng)且僅當(dāng)+$\frac{4（2m+1）}{n+1}$=$\frac{n+1}{2m+1}$，即n+1=2（2m+1）時(shí)取等號(hào)，
∴n+2m的最小值為7，
∵f（x）=|x+1|-|2-x|≤|x+1+2-x|=3，
∴f（x）的最大值為3，
則n+2m＞f（x）恒成立，即n+2m-f（x）＞0恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法以及不等式恒成立問(wèn)題，利用基本不等式以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出相應(yīng)的最值是解決本題的關(guān)鍵．