Question

3．已知圓C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的兩條直線l₁，l₂都過點A（a，0），
（1）當a=2時，若圓心為M（1，m）（m＞0）的圓和圓C外切且與直線l₁，l₂都相切，求圓M的方程；
（2）當a=-1時，記l₁，l₂被圓C所截得的弦長分別為d₁，d₂，求：
①d₁²+d₂²的值；
②d₁+d₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）設出所求的圓的半徑r，利用和已知圓外切及圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為$\sqrt{2}$r，求出半徑r
和m的值，寫出所求圓的標準方程．
（2）設弦長分別為d₁，d₂，因為四邊形AECF是矩形，應用勾股定理和基本不等式求①d₁²+d₂²的值；②d₁+d₂的最大值．

解答 解：（1）設圓M的半徑為r，$由題意有：\left\{\begin{array}{l}\sqrt{9+{m^2}}=2+r\\{（2-1）^2}+{m^2}=2{r^2}\end{array}\right.$，…（3分）
$解得m=\sqrt{7}，r=2$…（5分）∴$圓M的方程為{（x-1）^2}+{（y-\sqrt{7}）^2}=4$．…（6分）
（2）①當a=-1時，設l₁，l₂被圓C所截得的弦的中點分別為E，F(xiàn)．
∵四邊形AECF為矩形．∴|CE|²+|CF|²=|AC|²=1，…（8分）$即[{4-{{（{\frac{d_1}{2}}）}^2}}]+[{4-{{（{\frac{d_2}{2}}）}^2}}]=1，化簡得{d_1}^2+{d_2}^2=28$．…（10分）
②$由\frac{{{d_1}^2+{d_2}^2}}{2}≥{（{\frac{{{d_1}+{d_2}}}{2}}）^2}及$①得${d_1}+{d_2}≤2\sqrt{14}$
即d₁+d₂的最大值為$2\sqrt{14}$．…（12分）

點評 本題考查圓的標準方程的求法、直線和圓位置關系的綜合應用，屬于中檔題．