Question

如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，CC₁=5，E是棱CC₁上不同于端點的點，且

CE

=λ

CC1

．
（1）當(dāng)∠BEA₁為鈍角時，求實數(shù)λ的取值范圍；
（2）若λ=

2

5

，記二面角B₁-A₁B-E的大小為θ，求|cosθ|．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．根據(jù)∠BEA₁為鈍角時，cos∠BEA₁＜0，即

EB

•

EA1

＜0，進(jìn)而求出實數(shù)λ的取值范圍；
（2）求出平面BEA₁的一個法向量為

n

，平面BA₁B₁的一個法向量為

m

，代入向量夾角公式，可得|cosθ|的值．

解答： 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
由題設(shè)知B（2，3，0），A₁（2，0，5），C（0，3，0），C₁（0，3，5）．
因為

CE

=λ

CC1

，所以E（0，3，5λ），從而

EB

=（2，0，-5λ），

EA1

=（2，-3，5-5λ）．…（2分）
當(dāng)∠BEA₁為鈍角時，cos∠BEA₁＜0，且

EB

與

EA1

不共線，
所以

EB

•

EA1

＜0，
即2×2-5λ（5-5λ）＜0，
解得

1

5

＜λ＜

4

5

．
即實數(shù)λ的取值范圍是（

1

5

，

4

5

）．             …（5分）
（2）當(dāng)λ=

2

5

時，

EB

=（2，0，-2），

EA1

=（2，-3，3）．
設(shè)平面BEA₁的一個法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • EB =0 n • EA 1 =0

，即

2x-2z=0 2x-3y+3z=0

取x=1，得y=

5

3

，z=1，
所以平面BEA₁的一個法向量為

n

=（1，

5

3

，1）．  …（7分）
易知，平面BA₁B₁的一個法向量為

m

=（1，0，0）．
因為|cosθ|=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

43 9

=

3 43

43

，
從而|cosθ|=

3 43

43

．                        …（10分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，向量數(shù)量積，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間直線夾角和二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．