Question

17．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，向量$\overrightarrow{x}$=（1，b_n），$\overrightarrow{y}$=（a_n-1，S_n），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
（1）若b_n=2，求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）若b_n=$\frac{n}{2}$，a₂=0．
①證明：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
②設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{{a_{n+3}}}}{{{a_{n+2}}}}$，問是否存在正整數(shù)l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c_l、c₂、c_m成等比數(shù)列，若存在，求出l、m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量平行的坐標關(guān)系得到S_n=（a_n-1）b_n，進一步對n取值，得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）①由${b_n}=\frac{n}{2}$，則2S_n=na_n-n③，又2S_n+1=（ n+1）a_n+1-（n+1）④，兩式相減即可得到數(shù)列{a_n}的遞推公式，進一步對n 取值，得到數(shù)列{a_n}是首項為-1，公差為1的等差數(shù)列．
②由①得到數(shù)列{c_n}通項公式，根據(jù)m，l的范圍討論可能的取值．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow{x}$=（1，b_n），$\overrightarrow{y}$=（a_n-1，S_n），$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$．
得S_n=（a_n-1）b_n，當b_n=2，則S_n=2a_n-2  ①，
當n=1時，S₁=2a₁-2，即a₁=2，…（1分）
又S_n+1=2a_n+1-2  ②，
②-①得S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n，又a₁=2，
所以{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，…（3分）
所以a_n=2ⁿ．…（4分）
（2）①證明：因為${b_n}=\frac{n}{2}$，則2S_n=na_n-n③，
當n=1時，2S₁=a₁-1，即a₁=-1，
又2S_n+1=（ n+1）a_n+1-（n+1）④，
④-③得
2S_n+1-2S_n=（n+1）a_n+1-na_n-1，…（6分）
即（n-1）a_n+1-na_n-1=0 ⑤，
又na_n+2-（n+1）a_n+1-1=0⑥
⑥-⑤得，na_n+2-2na_n+1+na_n=0，
即a_n+2+a_n=2a_n+1，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．…（8分）
②又a₁=-1，a₂=0，
所以數(shù)列{a_n}是首項為-1，公差為1的等差數(shù)列．
a_n=-1+（n-1）×1=n-2，所以${c_n}=\frac{n+1}{n}$，…（10分）
假設(shè)存在l＜m（l≠2，m≠2），使得c_l、c₂、c_m成等比數(shù)列，即$c_2^2={c_l}{c_m}$，
可得$\frac{9}{4}=\frac{l+1}{l}•\frac{m+1}{m}$，…（12分）
整理得5lm-4l=4m+4即$l=\frac{4m+4}{5m-4}$，由$\frac{4m+4}{5m-4}≥1$，得1≤m≤8，…（14分）
一一代入檢驗$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ l=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ l=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=3\\ l=\frac{16}{11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=4\\ l=\frac{5}{4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=5\\ l=\frac{8}{7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=6\\ l=\frac{14}{13}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=7\\ l=\frac{32}{31}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=8\\ l=1\end{array}\right.$
由l＜m，所以存在l=1，m=8符合條件．…（16分）

點評 本題考查了由數(shù)列的前n項和求通項公式以及等差數(shù)列通項公式的運用；關(guān)鍵是正確求出{a_n}通項公式．