Question

5．某校高二八班選出甲、乙、丙三名同學(xué)參加級(jí)部組織的科學(xué)知識(shí)競(jìng)賽．在該次競(jìng)賽中只設(shè)成績(jī)優(yōu)秀和成績(jī)良好兩個(gè)等次，若某同學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，則給予班級(jí)10分的班級(jí)積分，若成績(jī)良好，則給予班級(jí)5分的班級(jí)積分．假設(shè)甲、乙、丙成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率分別為$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，他們的競(jìng)賽成績(jī)相互獨(dú)立．
（1）求在該次競(jìng)賽中甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率；
（2）記在該次競(jìng)賽中甲、乙、丙三名同學(xué)所得的班級(jí)積分之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）記“甲成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”為事件A，“乙成績(jī)優(yōu)秀”為事件B，“丙成績(jī)優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”為事件E，由事件A、B、C是相互獨(dú)立事件，事件ABC與事件E是對(duì)立事件，能求出在該次競(jìng)賽中甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率．
（2）ξ的所有可能取值為15，20，25，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）記“甲成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”為事件A，“乙成績(jī)優(yōu)秀”為事件B，“丙成績(jī)優(yōu)秀”為事件C，
“甲、乙、丙至少有一名成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”為事件E，
∵事件A、B、C是相互獨(dú)立事件，事件ABC與事件E是對(duì)立事件，
∴P（E）=1-P（$\overline{ABC}$）=1-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{9}$．
（2）ξ的所有可能取值為15，20，25，30，
P（ξ=15）=P（$\overline{A}\overline{B}\overline{C}$）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=20）=P（A$\overline{B}\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{7}{18}$，
P（ξ=30）=P（ABC）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=25）=1-$\frac{1}{9}-\frac{7}{18}-\frac{1}{9}$=$\frac{7}{18}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	15	20	25	30
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{1}{9}$

Eξ=$15×\frac{1}{9}+20×\frac{7}{18}+25×\frac{7}{18}+30×\frac{1}{9}$=$\frac{45}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．