Question

14．已知拋物線C：y²=2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l₁，l₂分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點．
（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接RF，PF，利用等角的余角相等，證明∠PRA=∠PQF，即可證明AR∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求出N的坐標，利用點差法求AB中點的軌跡方程．

解答 （Ⅰ）證明：連接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中點，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°-∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
  F（$\frac{1}{2}$，0），準線為 x=-$\frac{1}{2}$，
 S_△PQF=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|，
設(shè)直線AB與x軸交點為N，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$|FN||y₁-y₂|，
∵△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，
∴2|FN|=1，∴x_N=1，即N（1，0）．
設(shè)AB中點為M（x，y），由$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=2{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=2{x}_{2}}\end{array}\right.$得${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}$=2（x₁-x₂），
又$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{y}{x-1}$，
∴$\frac{y}{x-1}$=$\frac{1}{y}$，即y²=x-1．
∴AB中點軌跡方程為y²=x-1．

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．