Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，3S_n=a_n-1（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）求a_n和S_n．

Answer 1

分析 （1）將n=1，2依次代入求得a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{4}$；
（2）化簡3S_n=a_n-1可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合（1）證明；
（3）由（2），利用等比數(shù)列求a_n和S_n．

解答 解：（1）∵3S₁=a₁-1=3a₁，
∴a₁=-$\frac{1}{2}$，
∵3S₂=a₂-1=3（a₂-$\frac{1}{2}$），
∴a₂=$\frac{1}{4}$；
（2）證明：∵3S_n=a_n-1，3S_n+1=a_n+1-1，
∴3a_n+1=a_n+1-a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{2}$，
結(jié)合（1）知，
數(shù)列{a_n}是以-$\frac{1}{2}$為首項，-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（3）由（2）知，
a_n=（-$\frac{1}{2}$）•（-$\frac{1}{2}$）^n-1=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
S_n=$\frac{（-\frac{1}{2}）（1-（-\frac{1}{2}）^{n}）}{1+\frac{1}{2}}$=-$\frac{1}{3}$（1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ）．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．