Question

3．設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1的離心率互為倒數(shù)，且長軸長為4．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）在橢圓C₁落在第一象限的圖象上任取一點(diǎn)作C₁的切線l，求l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的離心率，由題意可得橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由長軸長可得a=2，則橢圓的方程可求；
（2）由題意設(shè)出切線方程y=kx+m（k＜0），和橢圓方程聯(lián)立后由方程僅有一個(gè)實(shí)根得到方程的判別式等于0，即得到k與m的關(guān)系，求出直線在x軸和y軸上的截距，代入三角形的面積公式后化為含有k的代數(shù)式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由雙曲線$\frac{{y}^{2}}{3}$-x²=1的離心率為$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，
可得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由題意可得2a=4，即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
可得橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由l與橢圓C₁相切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，
可得直線l的斜率必存在且為負(fù)，
設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（k＜0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y整理可得，（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
根據(jù)題意可得方程只有一實(shí)根，
則△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，
整理可得：m²=4k²+1，
由直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（-$\frac{m}{k}$，0），（0，m）且k＜0，
則l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=$\frac{1}{2}$•$\frac{{m}^{2}}{-k}$=（-2k）+$\frac{1}{-2k}$≥2$\sqrt{（-2k）•\frac{1}{-2k}}$=2，（當(dāng)且僅當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)），
則圍成的三角形的面積的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線相切的條件，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，屬于中檔題．