Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面體N-BCM的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)EN，EM，得NE是△PBC的中位線，推導(dǎo)出四邊形ABEM是平行四邊形，由此能證明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)F，連結(jié)NF，NF是△PAC的中位線，推導(dǎo)出NF⊥面ABCD，延長BC至G，使得CG=AM，連結(jié)GM，則四邊形AGCM是平行四邊形，由此能求出四面體N-BCM的體積．

解答 證明：（Ⅰ）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)EN，EM，
∵N為PC的中點(diǎn)，∴NE是△PBC的中位線
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=AM=2，
∴四邊形ABEM是平行四邊形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵M(jìn)N?平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC中點(diǎn)F，連結(jié)NF，
∵NF是△PAC的中位線，
∴NF∥PA，NF=$\frac{1}{2}PA$=2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如圖，延長BC至G，使得CG=AM，連結(jié)GM，
∵AM$\underset{∥}{=}$CG，∴四邊形AGCM是平行四邊形，
∴AC=MG=3，
又∵M(jìn)E=3，EC=CG=2，
∴△MEG的高h(yuǎn)=$\sqrt{5}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}×BC×h$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
∴四面體N-BCM的體積V_N-BCM=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCM}×NF$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{5}×2$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．