【題目】如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,使得該函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>,則稱函數(shù)是該定義域上的“和諧函數(shù)”.
(1)求證:函數(shù)是“和諧函數(shù)”;
(2)若函數(shù)是“和諧函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】試題分析:(1)利用“和諧函數(shù)”的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,再驗(yàn)證進(jìn)行求解;(2)利用“和諧函數(shù)”的定義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的圖像至少有2個(gè)交點(diǎn),再利用整體換元和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.
試題解析:(1)要證:存在區(qū)間使得在上的值域?yàn)?/span>,
又由于是一個(gè)單調(diào)遞増的函數(shù),且定義域?yàn)?/span>
故只需證存在實(shí)數(shù)滿足,且有
觀察得,
即存在符合題意
故函數(shù)是“和諧函數(shù)”
(2)由題,即存在實(shí)數(shù)滿足,使得在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>,
由于單調(diào)遞増,從而有,
該方程組等價(jià)于方程在有至少2個(gè)解,
即在上至少有2個(gè)解,
即和的圖像至少有2個(gè)交點(diǎn),
記,則,從而有,
記,配方得,
又,作出的圖像可知, 時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn),
綜上, 的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面有命題:
①y=|sinx-|的周期是2π;
②y=sinx+sin|x|的值域是[0,2] ;
③方程cosx=lgx有三解;
④為正實(shí)數(shù),在上遞增,那么的取值范圍是;
⑤在y=3sin(2x+)中,若f(x)=f(x2)=0,則x1-x2必為的整數(shù)倍;
⑥若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角,則點(diǎn)P(cosB-sinA,sinB-cosA)在第二象限;
⑦在中,若,則鈍角三角形。
其中真命題個(gè)數(shù)為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知F1(﹣c,0)、F2(c,0)分別是橢圓G: 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓上一點(diǎn),且MF2⊥F1F2 , |MF1|﹣|MF2|= a.
(1)求橢圓G的方程;
(2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn),以AB為底作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(﹣3,2),求△PAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是兩條不同的直線, 是三個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:
①若,則 ②若,則
③若,則 ④若,則
其中正確命題的序號(hào)是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等邊三角形的中線與中位線相交于,已知是繞旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形,給出以下四個(gè)命題:①平面;②平面平面;③動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上;④異面直線與不可能垂直. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓過(guò)點(diǎn),且與圓 ()關(guān)于軸對(duì)稱.
(I)求圓的方程;
(II)若有相互垂直的兩條直線,都過(guò)點(diǎn),且被圓所截得弦長(zhǎng)分別是,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若△ABC的面積S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)之和小于3;
(2)若對(duì)任意, , ,求的取值范圍.
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