Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x-asinxcosx（a∈R，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若對(duì)于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0，\frac{π}{2}}）$上有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，列出表格，求出函數(shù)的極值即可；
（2）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定a的范圍即可；
（3）求出當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0，\frac{π}{2}}）$上無零點(diǎn)，a＞1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到f（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上有一個(gè)零點(diǎn)，從而判斷結(jié)論即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xe^x，f′（x）=e^x（x+1），
令f′（x）=0，得x=-1，
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以函數(shù)f（x）的極小值為$f（{-1}）=-\frac{1}{e}$，無極大值；
（2）①當(dāng)a≤0時(shí)，由于對(duì)于任意$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，有sinxcosx≥0，
所以f（x）≥0恒成立，當(dāng)a≤0時(shí)，符合題意；
 ②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，因?yàn)閒′（x）≥e^x（x+1）-acos2x≥e⁰（0+1）-acos0=1-a≥0，
所以函數(shù)f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上為增函數(shù)，所以f（x）≥f（0）=0，即當(dāng)0＜a≤1，符合題意；
③當(dāng)a＞1時(shí)，f′（0）=1-a＜0，${f^'}（{\frac{π}{4}}）={e^{\frac{π}{4}}}（{\frac{π}{4}+1}）＞0$，
所以存在$α∈（{0，\frac{π}{4}}）$，使得f′（α）=0，且在（0，α）內(nèi)，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，α）上為減函數(shù)，所以f（x）＜f（0）=0，
即當(dāng)a＞1時(shí)，不符合題意，
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，1]；
（3）不存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0，\frac{π}{2}}）$上有兩個(gè)零點(diǎn)，
由（2）知，當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是增函數(shù)，且f（0）=0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0，\frac{π}{2}}）$上無零點(diǎn)，
當(dāng)a＞1時(shí)，f′（x）≥e^x（x+1）-acos2x，
令g（x）=e^x（x+1）-acos2x，g′（x）=e^x（x+2）+2asin2x
當(dāng)$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$時(shí)，恒有g(shù)′（x）＞0，所以g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是增函數(shù)，
由$g（0）=1-a＜0，g（{\frac{π}{2}}）={e^{\frac{π}{2}}}（{\frac{π}{2}+1}）+a＞0$，
故g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上存在唯一的零點(diǎn)x₀，即方程f′（x）=0在$（{0，\frac{π}{2}}）$上存在唯一解x₀，
且當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)$x∈（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$，f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，在$（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）＜f（0）=0，即f（x）在（0，x₀）無零點(diǎn)；
當(dāng)$x∈（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$時(shí)，$f（{x_0}）＜f（0），f（{\frac{π}{2}}）=\frac{π}{2}{e^{\frac{π}{2}}}＞0$，
所以f（x）在$（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$上有唯一零點(diǎn)，
所以，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，不存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0，\frac{π}{2}}）$上有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．