Question

過(guò)x軸上點(diǎn)P（a，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y²=8x交于A，B兩點(diǎn)，若

1

|AP2|

+

1

|BP2|

為定值，則a的值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：x=my+a，與y²=8x聯(lián)立得y²-8my-8a=0，利用韋達(dá)定理可求得

1

|AP2|

+

1

|BP2|

=

4m2+a

4a2(m2+1)

，由它為定值可求得a的值．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：x=my+a，
代入y²=8x得y²-8my-8a=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=8m，y₁•y₂=-8a，
AP²=(x1-a)2+y12=(my1)2+y12=（m²+1）y12，
同理，BP²=（m²+1）y22，
∴

1

|AP2|

+

1

|BP2|

=

1

m2+1

（

1

y12

+

1

y22

）
=

1

m2+1

•

(y1+y2)2-2y1y2

y12y22

=

1

m2+1

•

64m2-2×(-8a)

64a2

=

4m2+a

4a2(m2+1)

，
∵

1

|AP2|

+

1

|BP2|

為定值，是與m無(wú)關(guān)的常數(shù)，
∴a=4．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，著重考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．