Question

19．若關(guān)于x，y的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{x+2y≥0}\\{kx-y+1≥0}{\;}\end{array}\right.$（k≠0）表示的平面區(qū)域形狀是直角三角形，則該區(qū)域的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域是直角三角形，求出k=2，結(jié)合三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
直線kx-y+1=0，過定點A（0，1），
∵k≠0，
∴若平面區(qū)域形狀是直角三角形，
則必有kx-y+1=0與直線y=-$\frac{1}{2}$x垂直時，
此時$-\frac{1}{2}×k=-1$，
此時k=2，即直線方程為2x-y+1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x+2y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，即C（-$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$），
此時△AOC的面積S=$\frac{1}{2}×1×$$\frac{2}{5}$=$\frac{1}{5}$，
故選：D．

點評 本題主要考查一元二次不等式組表示平面區(qū)域，以及直線垂直的等價條件，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．