Question

11．已知數(shù)列{a_n} 滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$（n∈N^*），則a₁a₂a₃…a₂₀₁₀ 的值為-6．

Answer 1

分析 根據(jù)遞推公式依次求出a₂、a₃、a₄、a₅，歸納出規(guī)律求出數(shù)列的周期，根據(jù)數(shù)列的周期性求出式子的值．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=-3，同理可求a₃=$-\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{3}$，a₅=2…，
∴數(shù)列{a_n}的周期為4，且a₁a₂a₃a₄=1，
∴a₁a₂a₃a₄…a₂₀₀₉a₂₀₁₀=a₁a₂=2×（-3）=-6，
故答案為：-6．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，歸納出周期是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．