Question

19．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+ax²-x（a∈R）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若存在x₀∈[0，+∞），使f（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出答案，
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，再分類(lèi)討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（3）存在x∈[0，+∞），使x∈[0，+∞）成立”的非命題為“對(duì)任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥0成立”根據(jù)（2）即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=ln（x+1）+$\frac{1}{2}$x²-x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$+x-1，
∴f（0）=0，f'（0）=0，
∴切點(diǎn)為（0，0），切線(xiàn)斜率k=f'（0）=0，
∴在點(diǎn)（0，f（0））處切線(xiàn)方程為：y=0…（2分）
（2）由已知得$f'（x）=\frac{1}{x+1}+2ax-1=\frac{{（{2ax+2a-1}）x}}{x+1}，x＞-1$
當(dāng)a≤0時(shí)，∵x＞-1，∴x+1＞0，
∴2ax+2a-1=2a（x+1）-1≤-1＜0，
∴x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＞0，x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，
此時(shí)，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．…（4分）
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0得${x_1}=0，{x_2}=\frac{1-2a}{2a}$，
∵a＞0，
∴${x_2}=\frac{1-2a}{2a}$=$-1+\frac{1}{2a}＞-1$…（5分）
若$a=\frac{1}{2}$，則$\frac{1-2a}{2a}=0$，
∴$f'（x）=&\frac{x^2}{x+1}≥0（{∵x＞-1}）$，
此時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；…（6分）
若$0＜a＜\frac{1}{2}$，則x₁＜x₂，f（x），f'（x）的變化如下表

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

此時(shí)f（x）在（-1，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減． …（7分）
若a＞$\frac{1}{2}$則x₁＞x₂，f（x），f'（x）的變化如下表

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

此時(shí)f（x）在（-1，x₂）和（x₁，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₂，x₁）上單調(diào)遞減  …（8分）
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-1，0）和$（{\frac{1-2a}{2a}，+∞}）$上單調(diào)遞增，在$（{0，\frac{1-2a}{2a}}）$上單調(diào)遞減；
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在$（{-1，\frac{1-2a}{2a}}）$和（0，+∞）上單調(diào)遞增，在$（{\frac{1-2a}{2a}，0}）$上單調(diào)遞減；…（9分）
（3）“存在x∈[0，+∞），使x∈[0，+∞）成立”的非命題為“對(duì)任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥0成立”
由（2）得，當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)$a＜\frac{1}{2}$時(shí)，一定存在區(qū)間（0，m）⊆[0，+∞）（m＞0），有f（x）在（0，m）上單調(diào)遞減
又有f（0）=0，
∴當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，
“任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥f（0）=0成立”
即若對(duì)任意x∈[0，+∞），都有f（x）≥0成立，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$a≥\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查 了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，以及不等式恒成立的問(wèn)題和參數(shù)的取值范圍，屬于難題．