Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-2|．
（I） 求不等式f（x）≥6的解集；
（II） 若f（x）≥a²-3a在R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）分類討論，去掉絕對(duì)值，即可求不等式f（x）≥3的解集；
（II）利用|x+2|+|x-2|≥|（x+2）-（x-2）|=4，所以a²-3a≤4，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（ I） 因?yàn)?f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-2x，x≤-2}\\{4，-2＜x≤2}\\{2x，x＞2}\end{array}}\right.$，所以原不等式等價(jià)于$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-2x≥6}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{-2＜x≤2}\\{4≥6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x》＞2}\\{2x≥6}\end{array}}\right.$，
解得x≤-3或x∈∅或x≥3．
因此不等式解集為（-∞，-3]∪[3，+∞）．
（ II） 由題意得，關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-2|≥a²-3a在R恒成立，
因?yàn)閨x+2|+|x-2|≥|（x+2）-（x-2）|=4，所以a²-3a≤4，解得-1≤a≤4．
因此滿足條件的a的取值范圍為[-1，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．