Question

14．已知函數(shù)f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x（x＞0），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的面積；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，可得切線的方程，求得與x，y軸的交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f（x）=（1-$\frac{2}{x}$）e^x的導數(shù)為f′（x）=e^x（$\frac{2}{{x}^{2}}$+1-$\frac{2}{x}$），
可得在（1，-e）處的切線的斜率為e，
切線的方程為y+e=e（x-1），即為y=ex-2e，
令x=0，可得y=-2e；令y=0，可得x=2，
則切線與坐標軸圍成的面積為：$\frac{1}{2}$×2×2e=2e；
（2）∵f（x）=（1-$\frac{a}{x}$）e^x（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{{（x}^{2}-ax+a{）e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x²-ax+a=${（x-\frac{a}{2}）}^{2}+\frac{4a{-a}^{2}}{4}$，（x＞0），
①0≤a≤4時，g（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）遞增；
②a＜0時，令g（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
令g（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$）遞減，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，+∞）遞增；
③a＞4時，令g（x）＞0，解得：x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$或0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
令g（x）＜0，解得：$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$）遞增，在（$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$）遞減，在（$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2}$，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，直線方程的運用，考查運算能力，是一道中檔題．