Question

3．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=a（a＞0），射線θ=φ，θ=φ-$\frac{π}{4}$，θ=φ+$\frac{π}{2}$，與曲線C₁分別交異于極點O的四點A、B、C、D．
（Ⅰ）若曲線C₁關(guān)于曲線C₂對稱，求a的值，并把曲線C₁和曲線C₂化成直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得：${ρ^2}=2\sqrt{2}ρ（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ}）=2ρsinθ+2ρcosθ$，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程．把C₂的方程化為直角坐標(biāo)方程為y=a，根據(jù)曲線C₁關(guān)于曲線C₂對稱，故直線y=a經(jīng)過圓心解得a，即可得出．
（Ⅱ）由題意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得：${ρ^2}=2\sqrt{2}ρ（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ}）=2ρsinθ+2ρcosθ$，
化為直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=2．
把C₂的方程化為直角坐標(biāo)方程為y=a，∵曲線C₁關(guān)于曲線C₂對稱，故直線y=a經(jīng)過圓心（1，1），解得a=1，
故C₂的直角坐標(biāo)方程為y=1．
（Ⅱ）由題意可得，$|{OA}|=2\sqrt{2}sin（{φ+\frac{π}{4}}）$，$|{OB}|=2\sqrt{2}sin（{φ+\frac{π}{2}}）=2\sqrt{2}cosφ$，$|{OC}|=2\sqrt{2}sinφ$，$|{OD}|=2\sqrt{2}sin（{φ+\frac{3π}{4}}）=2\sqrt{2}cos（{φ+\frac{π}{4}}）$，$|{OA}|•|{OC}|+|{OB}|•|{OD}|=8sin（{φ+\frac{π}{4}}）sinφ+8cos（{φ+\frac{π}{4}}）cosφ=8cos\frac{π}{4}=4\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、圓的對稱性、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．