Question

9．如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交⊙O于N，過(guò)N點(diǎn)的切線CA的延長(zhǎng)線于P．
（1）求證：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為$2\sqrt{3}，OA=OM$，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）做出輔助線連接ON，根據(jù)切線得到直角，根據(jù)垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根據(jù)同角的余角相等，得到角的相等關(guān)系，得到結(jié)論．
（2）本題是一個(gè)求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，在解題時(shí)，應(yīng)用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所給的條件，得到要求線段的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）連接ON，
∵PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
∵OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM²=PN²=PA•PC
解：（2）∵OM=2，BO=2$\sqrt{3}$，
∴BM•MN=CM•MA=（2$\sqrt{3}$+2）（2$\sqrt{3}$-2）=8，
∵BM=4，
∴MN=2．

點(diǎn)評(píng) 本題要求證明一個(gè)PM²=PA•PC結(jié)論，實(shí)際上這是一個(gè)名叫切割線定理的結(jié)論，可以根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)證明，這是一個(gè)中檔題．