Question

1．已知拋物線C：y=$\frac{1}{4}$x²的焦點為F，點P為拋物線C上一個動點，過點P且與拋物線C相切的直線記為l．
（1）求F的坐標；
（2）當點P在何處時，點F到直線L的距離最小？

Answer 1

分析 （1）把拋物線方程整理成標準方程，進而可得焦點的坐標．
（2）設P（x₀，y₀）則y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，根據(jù)y′=$\frac{1}{2}$x，判斷在P點處拋物線（二次函數(shù)）的切線的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀，進而可得切線方程和焦點F到切線L的距離，最后判斷當且僅當x₀=0時上式取“=”此時P的坐標是（0，0）．

解答 解：（1）拋物線方程為x²=4y，故焦點F的坐標為（0，1）．
（2）設P（x₀，y₀）則y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，
對x²=4y進行求導得
y′=$\frac{1}{2}$x，
∴在P點處拋物線（二次函數(shù)）的切線的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀
∴切線L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即$\frac{1}{2}$x₀x-y-$\frac{1}{4}$x₀²=0
∴焦點F到切線L的距離d=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}{\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}$≥1，
當且僅當x₀=0時上式取“=”此時P的坐標是（0，0）
∴當P在（0，0）處時，焦點F到切線L的距離最小

點評 本題主要考查了拋物線的應用及拋物線與直線的關系．考查了學生綜合分析和解決問題的能力．