Question

13．關(guān)于x的方程x³-x²-x+m=0，至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的最小值為$-\frac{5}{27}$．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分類法進(jìn)行分離成m=-x³+x²+x，構(gòu)造函數(shù)f（x）=-x³+x²+x，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)極值進(jìn)行求解即可．

解答 解：若方程x³-x²-x+m=0，
則m=-x³+x²+x，
設(shè)f（x）=-x³+x²+x，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-3x²+2x+
由f′（x）=0得x=1或x=-$\frac{1}{3}$，
由f′（x）＞0得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
由f′（x）＞＜0得x＜-$\frac{1}{3}$或x＞1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（-$\frac{1}{3}$）=-（-$\frac{1}{3}$）³+（-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$=$-\frac{5}{27}$，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（1）=-1+1+1=1，
若方程x³-x²-x+m=0，至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則$-\frac{5}{27}$≤m≤1，
故m的最小值為$-\frac{5}{27}$，
故答案為：$-\frac{5}{27}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．