Question

4．已知A，B，C是圓x²+y²=1上互不相同的三個(gè)點(diǎn)，且滿足|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，4）．

Answer 1

分析 畫出圖形，設(shè)出$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$以及$\overrightarrow{OC}$的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)表示，求取值范圍即可．

解答 解：如圖所示，取$\overrightarrow{OA}$=（1，0），不妨設(shè)B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．
∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，∴C（cosθ，-sinθ）；
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（cosθ-1，sinθ）•（cosθ-1，-sinθ）
=（cosθ-1）²-sin²θ
=cos²θ-2cosθ+1-（1-cos²θ）
=2${（cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$；
∵-1＜cosθ＜1，
∴當(dāng)cosθ=$\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，上式取得最小值-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)cosθ=-1時(shí)，2${（cosθ-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$=4；
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，4）．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與運(yùn)算問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．