Question

13．已知等比數(shù)列{a_n}滿足2a₃+a₅=3a₄，且a₃+2是a₂與a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}-1）{（a}_{n+1}-1）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和即可求出．

解答 解：（1）由題意知：2+q²=3q，得q=1或q=2，
當(dāng)q=1時(shí)，2（a₁+2）=a₁+a₁，顯然不合題意，舍去；
當(dāng)q=2時(shí)有2（4a₁+2）=2a₁+8a₁，即a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}-1）{（a}_{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴S_n=$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．