Question

18．設(shè)P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$=1（a＞b＞0）上任一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，|PF₁|+|PF₂|=4，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$． 
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C₁，直線l：y=x+m交C₁于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，0），求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的定義可知：2a=4，a=2，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，m²＜5，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x₁+x₂=2x₀=1-m，代入即可取得m的值．

解答 解：（1）由橢圓的定義可知：丨PF₁|+|PF₂|=2a=4，a=2，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則c=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：5x²+8mx+4m²-4=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），
則x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，
由△=64m²-20（4m²-4）＞0，解得：m²＜5，
又∵線段MN的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，0）
∴線段MN的垂直平分線方程y=-x+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，解得：2x₀=1-m，
由x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁+x₂=2x₀，
∴1-m=-$\frac{8m}{5}$，解得：m=-$\frac{5}{3}$，
∴實(shí)數(shù)m的值-$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．