如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是A1D1的中點(diǎn),Q是A1B1的任意一點(diǎn),E、F是CD上的任意兩點(diǎn),且EF的長(zhǎng)為定值.給出以下結(jié)論:
①異面直線PQ與EF所成的角是定值;
②點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值;
③直線PQ與平面PEF所成的角是定值;
④三棱錐P-QEF的體積是定值;以上說法正確的序號(hào)是
 
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:空間位置關(guān)系與距離,簡(jiǎn)易邏輯
分析:①由于DC∥A1B1,可得A1B1與直線PQ所成的銳角或直角即為異面直線PQ與EF所成的角,與點(diǎn)Q的位置有關(guān),不是定值;
②由于點(diǎn)Q到平面PCD的距離是定值,△PEF的面積是定值,因此三棱錐Q-PEF的體積是定值,而△QEF的面積是定值,因此點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值,即可判斷出;
③由于點(diǎn)Q到平面PCD的距離是定值,而PQ的長(zhǎng)度與點(diǎn)Q的位置有關(guān),因此直線PQ與平面PEF所成的角不是定值;
④由②可知:三棱錐P-QEF的體積是定值.
解答: 解:①∵DC∥A1B1,∴A1B1與直線PQ所成的銳角或直角即為異面直線PQ與EF所成的角,與點(diǎn)Q的位置有關(guān),不是定值,不正確;
②由于點(diǎn)Q到平面PCD的距離是定值,△PEF的面積是定值,因此三棱錐Q-PEF的體積是定值,而△QEF的面積是定值,因此點(diǎn)P到平面QEF的距離是定值,與點(diǎn)Q的位置無關(guān),正確;
③由于點(diǎn)Q到平面PCD的距離是定值,而PQ的長(zhǎng)度與點(diǎn)Q的位置有關(guān),因此直線PQ與平面PEF所成的角不是定值;
④由②可知:三棱錐P-QEF的體積是定值,正確;
以上說法正確的序號(hào)是 ②④.
故答案為:②④.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方體的性質(zhì)、三棱錐的體積、線面角、異面直線所成的角,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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