Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且M為PC的中點(diǎn)，求四棱錐M-ABCD的體積．
（3）在（2）的條件下，求二面角P-AB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理先證明AD⊥平面PQB即可．
（2）連接QC，作MH⊥QC與H，根據(jù)棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，得到∠POQ即為二面角P-AB-D的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 證明：（1）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB；
（2）連接QC，作MH⊥QC與H
∵PQ⊥AD，PQ?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴平面PAD⊥平面ABCD
∴PQ⊥平面ABCD，又QC?平面ABCD，PQ⊥QC，
∴PQ∥MH∴MH⊥平面ABCD
又PM=$\frac{1}{2}$PC，∴MH=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在菱形ABCD中，BD=2，
S_△ABD=$\frac{1}{2}AB•ADsin60°$=$\sqrt{3}$，
∴S_ABCD=2S_△ABD=2$\sqrt{3}$，

V_M-ABCD=$\frac{1}{3}$S_ABCD•MH=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
（3）解：過(guò)Q作QO⊥AB于O，連接OP
由（2）知PQ⊥平面ABCD，∴則OQ為斜線OP的射影
由射影定理知AB⊥OP，
∴∠POQ即為二面角P-AB-D的平面角，
在Rr△PQB中，PQ=$\sqrt{3}$，OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tan∴∠POQ=2
故二面角P-AB-D的正切值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線面垂直的性質(zhì)，空間幾何體的體積以及二面角的求解，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．