Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n²+n，n∈N^*．
（1）求證：{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）要證{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數(shù)列，即證$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$為常數(shù)，運(yùn)用a_n+1=S_n+1-S_n，化簡(jiǎn)已知條件，即可得到；
（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a_n=2n，2^n-1•a_n=n•2ⁿ，再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：由a₁=2，n•a_n+1=S_n+n²+n，
可得n（S_n+1-S_n）=S_n+n²+n，
即有nS_n+1=（n+1）S_n+n（n+1），
兩邊同除以n（n+1），可得
$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{S}_{n}}{n}$+1，即$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，
可得{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+n-1=n+1，
即有S_n=n（n+1），
則n•a_n+1=S_n+n²+n=2n（n+1），
即a_n+1=2（n+1），即有a_n=2n，2^n-1•a_n=n•2ⁿ，
前n項(xiàng)和T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化簡(jiǎn)可得，T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，以及等比數(shù)列的求和公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．