Question

9．設(shè)f（x）是定義在R上的恒不為0的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x，y∈R，都有f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，已知f（1）=2，a_n=f（n），n∈N⁺，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n為（　　）

• A． 2ⁿ-1
• B． 2ⁿ
• C． 2ⁿ⁺¹-1
• D． 2ⁿ⁺¹-2

Answer 1

分析 令x=n，y=1，由條件可得f（n）=f（n-1）f（1）=2f（n-1），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式可以求得S_n．

解答 解：對任意實(shí)數(shù)x，y∈R，都有f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$，
且f（1）=2，a_n=f（n），
可得f（x）=f（x-y）f（y），
令x=n，y=1，可得f（n）=f（n-1）f（1）=2f（n-1），
即有數(shù)列{a_n}是2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則a_n=2ⁿ，
S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和公式，注意運(yùn)用賦值法和等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．