Question

19．如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=2，PD=AB=$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別為線段PD和BC的中點．
（1）求證：CE∥平面PAF；
（2）在線段BC上是否存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）取PA中點為H，連結(jié)CE、HE、FH，推導出四邊形FCEH是平行四邊形，從而EC∥HF，由此能證明CE∥平面PAF．
（2）以A為原點，AC，AD，AD所在直角為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，點G即為B點．

解答 證明：（1）取PA中點為H，連結(jié)CE、HE、FH
因為H、E分別為PA、PD的中點，所以$HE∥AD，HE=\frac{1}{2}AD$，
因為ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點，
所以$FC∥AD，F(xiàn)C=\frac{1}{2}AD$，
所以HE∥FC，HE=FC，四邊形FCEH是平行四邊形，所以EC∥HF，
又因為CE?平面PAF，HF?平面PAF，
所以CE∥平面PAF．
（2）因為四邊形ABCD為平行四邊形，且∠ACB=90°，
所以CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，得CA⊥平面PAD，所以CA⊥PA，
由$PA=AD=1，PD=\sqrt{2}$，知PA⊥AD，
以A為原點，AC，AD，AD所在直角為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
因為$PA=BC=1，AB=\sqrt{2}$，所以AC=1．
所以B（1，-1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），
假設BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC，
所成二面角的大小為60°，
設點G的坐標為（1，a，0），-1≤a≤0，
所以$\overrightarrow{AG}$=（1，a，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
設平面PAG的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AG}=x+ay=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=z=0}\end{array}\right.$，令x=a，得$\overrightarrow{m}$=（a，-1，0），
又$\overrightarrow{CG}$=（0，a，0），$\overrightarrow{CP}$=（-1，0，1），設平面PGC的法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CG}=a{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=-{x}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令x₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
因為平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，
所以cos60°=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{2}}$|=$\frac{1}{2}$，
解得a=±1，又-1≤a≤0，所以a=-1，
所以線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小 為60°，
點G即為B點．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．