Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥$\frac{m}{1+x}$恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)n∈N^*，n≥2時(shí)，求證：nf（n）＜2+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$m≤\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，令$h（x）=\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出m的范圍即可；
（Ⅲ）求出ln（n+1）-lnn＜$\frac{1}{n}$，結(jié)合nf（n）=1+lnn，證出結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$f'（x）=\frac{1-a-lnx}{x^2}$，
所以f'（1）=1-a=0即a=1，∴$f'（x）=\frac{-lnx}{x^2}$，
令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由題意要使x∈[1，+∞）時(shí)，$f（x）≥\frac{m}{1+x}$恒成立，
即$m≤\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，
記$h（x）=\frac{（1+x）（1+lnx）}{x}$，則m≤[h（x）]_min，
$h'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}$，又令g（x）=x-lnx，
則$g'（x）=1-\frac{1}{x}$，又x≥1，所以$g'（x）=1-\frac{1}{x}≥0$，
所以g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
即g（x）≥g（1）=1＞0，
∴$h'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}＞0$，
即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以[h（x）]_min=h（1）=2，∴m≤2．
（Ⅲ）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
而$1+\frac{1}{n}＞1$（n∈N^*，n≥2），
∴$f（1+\frac{1}{n}）＜f（1）=1$，
∴$1+ln（1+\frac{1}{n}）＜1+\frac{1}{n}$，
即$ln（n+1）-lnn＜\frac{1}{n}$，
∴$lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}$，
即$1+lnn＜2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}$，而nf（n）=1+lnn，
∴$nf（n）＜2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}$結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．