Question

13．己知圓C與y軸相切，圓心在射線l₁：x-3y=0（x≥0）上，且被直線l₂：y=x截得的弦長為2$\sqrt{7}$．
（1）求此圓的方程．
（2）已知O（0，0），A（0，3），圓上是否存在點M，使得|MA|=2|MO|，若存在，指出有幾個點M，并給出理由，若不存在點M，也請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心C的坐標為（a，b），半徑為r，根據(jù)圓心C在直線x-3y=0上，列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，用b表示出a，同時根據(jù)圓C與y軸相切，得到圓的半徑r=|a|，由直線y=x與圓相交，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線y=x的距離d，根據(jù)弦長的一半，弦心距d及圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，進而得到a與半徑的值，寫出圓C的方程即可；
（2）設(shè)M（x，y），由|MA|=2|MO|，利用兩點間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓C的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，（a≥0）
此時圓心坐標為（a，b），半徑為r，
把圓心坐標代入直線x-3y=0中得：a=3b，
又圓C與y軸相切，∴r=|a|，
∵圓心C到直線y=x的距離d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|b|，弦長的一半為$\sqrt{7}$，
∴根據(jù)勾股定理得：2b²+7=a²=9b²，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此時圓C的標準方程為（x-3）²+（y-1）²=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此時圓C的標準方程為（x+3）²+（y+1）²=9（舍去）），
綜上，圓C的標準方程為（x-3）²+（y-1）²=9；
（2）設(shè)點M（x，y），由|MA|=2|MO|，知：x²+（y-3）²=4（x²+y²），
化簡得：x²+（y+1）²=4，
∴點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點M在圓C上，圓心距$\sqrt{13}$滿足3-2＜$\sqrt{13}$＜3+2
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交，
∴圓上存在兩個點M，使得|MA|=2|MO|．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩點間的距離公式、勾股定理、圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題．當直線與圓相交時，常常利用弦長的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．