Question

13．己知圓C與y軸相切，圓心在射線l₁：x-3y=0（x≥0）上，且被直線l₂：y=x截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$．
（1）求此圓的方程．
（2）已知O（0，0），A（0，3），圓上是否存在點(diǎn)M，使得|MA|=2|MO|，若存在，指出有幾個(gè)點(diǎn)M，并給出理由，若不存在點(diǎn)M，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心C的坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，根據(jù)圓心C在直線x-3y=0上，列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，用b表示出a，同時(shí)根據(jù)圓C與y軸相切，得到圓的半徑r=|a|，由直線y=x與圓相交，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線y=x的距離d，根據(jù)弦長(zhǎng)的一半，弦心距d及圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，進(jìn)而得到a與半徑的值，寫出圓C的方程即可；
（2）設(shè)M（x，y），由|MA|=2|MO|，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，（a≥0）
此時(shí)圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r，
把圓心坐標(biāo)代入直線x-3y=0中得：a=3b，
又圓C與y軸相切，∴r=|a|，
∵圓心C到直線y=x的距離d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|b|，弦長(zhǎng)的一半為$\sqrt{7}$，
∴根據(jù)勾股定理得：2b²+7=a²=9b²，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y-1）²=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+3）²+（y+1）²=9（舍去）），
綜上，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y-1）²=9；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由|MA|=2|MO|，知：x²+（y-3）²=4（x²+y²），
化簡(jiǎn)得：x²+（y+1）²=4，
∴點(diǎn)M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點(diǎn)M在圓C上，圓心距$\sqrt{13}$滿足3-2＜$\sqrt{13}$＜3+2
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交，
∴圓上存在兩個(gè)點(diǎn)M，使得|MA|=2|MO|．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常利用弦長(zhǎng)的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．