Question

已知x＞0，y＞0，x+y=1，求證：x⁴+y²＞

1

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：x＞0，y＞0，x+y=1，可得x⁴+y²=x⁴+x²-2x+1=f（x）．x∈（0，1）．由于f′（x）=4x³+2x-2，f^″=12x²+2＞0，可得f′（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增．而f′(

1

2

)•f′(

3

4

)＜0，因此f′（x）在(

1

2

，

3

4

)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x₀．即4

x

3 0

+2x0-2=0．x₀是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)也最小值點(diǎn)．利用f（x）≥f（x₀）即可證明．

解答： 證明：∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴y=1-x，
∴x⁴+y²=x⁴+（1-x）²=x⁴+x²-2x+1=f（x）．x∈（0，1）．
∴f′（x）=4x³+2x-2，
f^″=12x²+2＞0，
∴f′（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增．
而f′(

1

2

)•f′(

3

4

)＜0，因此f′（x）在(

1

2

，

3

4

)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x₀．即4

x

3 0

+2x0-2=0．
∴x₀是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)也最小值點(diǎn)．
∴f（x）≥f（x₀）=

x

4 0

+

x

2 0

-2x0+1=x0×

1

2

(1-x0)+

x

2 0

-2x₀+1=

1

2

x

2 0

-

3

2

x0+1=

1

2

(x0-

3

2

)2-

1

8

＞

1

2

(

3

4

-

3

2

)2-

1

8

=

5

32

＞

1

8

．
∴x⁴+y²＞

1

8

．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值證明不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．