Question

已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求函數f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）+g（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）求關于x的不等式f（x）＜g（x）的解集．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法,函數的定義域及其求法,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由對數的真數大于0，解不等式即可得到定義域；
（2）運用奇偶性的定義，首先判斷定義域是否關于原點對稱，再計算F（-x）與F（x）比較，即可判斷奇偶性；
（3）討論a＞1，0＜a＜1由對數函數的單調性，解不等式即可得到解集，注意定義域的運用．

解答： 解：（1）由x+1＞0且1-x＞0，解得-1＜x＜1，
即定義域為（-1，1）；
（2）首先定義域（-1，1）關于原點對稱，
令F（x）=f（x）+g（x），
則F（-x）=f（-x）+g（-x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）=F（x），
則F（x）為偶函數；
（3）由log_a（1+x）＜log_a（1-x），
當a＞1時，則0＜1+x＜1-x，解得-1＜x＜0；
當0＜a＜1時，則0＜1-x＜1+x，解得0＜x＜1．
綜上可得，a＞1時，不等式的解集為（-1，0），
當0＜a＜1時，不等式的解集為（0，1）．

點評：本題考查函數的定義域的求法，考查函數的奇偶性和單調性的運用，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．