Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）+g（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（3）求關(guān)于x的不等式f（x）＜g（x）的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，解不等式即可得到定義域；
（2）運(yùn)用奇偶性的定義，首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算F（-x）與F（x）比較，即可判斷奇偶性；
（3）討論a＞1，0＜a＜1由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到解集，注意定義域的運(yùn)用．

解答： 解：（1）由x+1＞0且1-x＞0，解得-1＜x＜1，
即定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）首先定義域（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
令F（x）=f（x）+g（x），
則F（-x）=f（-x）+g（-x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）=F（x），
則F（x）為偶函數(shù)；
（3）由log_a（1+x）＜log_a（1-x），
當(dāng)a＞1時(shí)，則0＜1+x＜1-x，解得-1＜x＜0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則0＜1-x＜1+x，解得0＜x＜1．
綜上可得，a＞1時(shí)，不等式的解集為（-1，0），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域的求法，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．