Question

19．若函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在$[\frac{1}{2}，16]$上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)$g（x）=（2+m）\sqrt{x}$ 在（0，+∞）上是增函數(shù)，則a=2．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)底數(shù)a進(jìn)行討論，在$[\frac{1}{2}，16]$上的最大值為4，最小值為m，解出m的值，在根據(jù)$g（x）=（2+m）\sqrt{x}$ 在（0，+∞）上是增函數(shù)，確定m的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在$[\frac{1}{2}，16]$上的最大值為4，最小值為m．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則有：$\left\{\begin{array}{l}{m=lo{g}_{a}16}\\{4=lo{g}_{a}\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a=${2}^{-\frac{1}{4}}$，m=-16．
當(dāng)a＞1時(shí)，則有：$\left\{\begin{array}{l}{4=lo{g}_{a}16}\\{m=lo{g}_{a}\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a=2，m=-1
又∵$g（x）=（2+m）\sqrt{x}$ 在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴2+m＞0，∴m＞-2．
所以滿(mǎn)足題意時(shí)，a=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，當(dāng)?shù)讛?shù)大小無(wú)法確定時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)行討論．屬于中檔題．