Question

3．函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x的圖象向左平移$φ（0＜φ＜\frac{π}{2}）$個單位后，得到的函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，則（　�。�

• A． g（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{2}$對稱
• B． g（x）的圖象關于點（π，0）對稱
• C． g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上遞增
• D． g（x）在[0，π]上遞減

Answer 1

分析 把函數(shù)式f（x）=sin2x+cos2x化積為f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），然后利用三角函數(shù)的圖象平移得到y(tǒng)=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+2φ），結合該函數(shù)為偶函數(shù)求得φ的最小正值，可求g（x）的解析式，利用余弦函數(shù)的圖象和性質即可判斷得解．

解答 解：∵由f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
把該函數(shù)的圖象左移φ個單位，所得圖象對應的函數(shù)解析式為：g（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x+φ）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$+2φ）．
又∵偶函數(shù)圖象關于y軸對稱，則$\frac{π}{4}$+2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴則φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
∵0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
∴當k=0時，φ的值是$\frac{π}{8}$，可得：g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos2x．
∴當$x=\frac{π}{2}$時，g（x）_min=-$\sqrt{2}$，g（x）的圖象關于直線$x=\frac{π}{2}$對稱，A正確；
當x=π時，g（π）=$\sqrt{2}$，B錯誤；
由g（x）=$\sqrt{2}$cos2x在$[0，\frac{π}{2}]$上遞減，[$\frac{π}{2}$，π]上單調(diào)遞增，故C、D錯誤；
故選：A．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象平移，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．