Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓C上不同的兩點(diǎn)M，N滿足$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$$+\frac{1}{|ON{|}^{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率公式，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得5m²=4（k²+1），利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，即可求得$\frac{1}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$的值．

解答 解：（1）由題意的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，
將點(diǎn)（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{2}{{4b}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1$，解得：a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線MN的方程y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-km×$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+m²=0
整理得：5m²=4（k²+1）
原點(diǎn)O到直線的距離為d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由$\frac{1}{2}$×丨$\overrightarrow{OM}$丨×丨$\overrightarrow{ON}$丨=$\frac{1}{2}$丨MN丨×d，
則$\frac{1}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$=$\frac{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}+丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}×丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$=$\frac{丨MN{丨}^{2}}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}×丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$=$\frac{1}{1b1hlf9^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{1}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$=$\frac{5}{4}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．