Question

15．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若對任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，都有f（x）+$\frac{1}{2}$x²+ax+$\frac{3}{2}$≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，討論f′（x）的符號，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求得函數(shù)f（x）得極值；
 （Ⅱ）當x$∈[\frac{1}{e}，e]$時，由f（x）+$\frac{1}{2}$x²+ax+$\frac{3}{2}$≤0成立，得a$≤-lnx-\frac{x}{2}-\frac{3}{2x}$ 
記g（x）=-lnx-$\frac{x}{2}$-$\frac{3}{2x}$，x$∈[\frac{1}{e}，e]$，
則g′（x）=-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x+3）（x-1）}{2{x}^{2}}$，
 利用導數(shù)求出g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值即可求得實數(shù)a的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{e}$，-----------------------------------------（2分）
當0$＜x＜\frac{1}{e}$時，f′（x）＜0，當x$＞\frac{1}{e}$時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，----------------------------------------（4分）
∴函數(shù)f（x）無極大值，
當x=$\frac{1}{e}$時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）有極小值，f（x）_極小=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，--------------------------（5分）
（Ⅱ）當x$∈[\frac{1}{e}，e]$時，由f（x）+$\frac{1}{2}$x²+ax+$\frac{3}{2}$≤0成立，得a$≤-lnx-\frac{x}{2}-\frac{3}{2x}$，--------------（6分）
記g（x）=-lnx-$\frac{x}{2}$-$\frac{3}{2x}$，x$∈[\frac{1}{e}，e]$，
則g′（x）=-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x+3）（x-1）}{2{x}^{2}}$，
當x∈（$\frac{1}{e}$，1）時，得g′（x）＞0，當x∈（1，e）時，g′（x）＜0
∴g（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，---------------------------------------------------（9分）
又（$\frac{1}{e}$）=1-$\frac{1}{2e}$-$\frac{3e}{2}$，g（e）=-1-$\frac{e}{2}$-$\frac{3}{2e}$，
∵g（$\frac{1}{e}$）-g（e）=2+$\frac{1}{e}-e$＜0，∴g（$\frac{1}{e}$）＜g（e），-------------------------------------------------（10分）
故g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值為g（$\frac{1}{e}$），故只需a$≤g（\frac{1}{e}$），
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1-$\frac{1}{2e}$-$\frac{3e}{2}$]．---------------------------------------------------（12分）

點評 本題考查了導數(shù)的應用，考查了利用導數(shù)處理含參函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．