Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=2x．若在區(qū)間[-2，2]上方程ax+a-f（x）=0恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[0，1）
• B、[0，2]
• C、[1，+∞）
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+2）=f（x）得到函數(shù)的周期是2，利用函數(shù)的周期性和奇偶性作出函數(shù)f（x）的圖象，由ax+a-f（x）=0等價為f（x）=a（x+1），利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：若在區(qū)間[-2，2]上方程ax+a-f（x）=0恰有三個不相等的實數(shù)根，等價為f（x）=a（x+1）有三個不相等的實數(shù)根，
即函數(shù)f（x）和g（x）=a（x+1），有三個不相同的交點，
∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)的周期是2，
當-1≤x≤0時，0≤-x≤1，此時f（-x）=-2x，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=-2x=f（x），
即f（x）=-2x，-1≤x≤0，
作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，則A（-1，0），B（1，2），
當g（x）經(jīng)過B（1，2）時，兩個圖象有2個交點，此時g（1）=2a=2，解得a=1，
要使在區(qū)間[-2，2]上方程ax+a-f（x）=0恰有三個不相等的實數(shù)根，
則0≤a＜1，
故選：A．

點評：本題主要考查方程根的公式的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．