Question

18．在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且點(diǎn)（$\sqrt{a_n}$，$\sqrt{{a_{n-1}}}$）在直線x-$\sqrt{2}$y=0上，則前n項(xiàng)和S_n等于（　�。�

• A． 2ⁿ-1
• B． 2ⁿ⁺¹-2
• C． ${2^{\frac{n}{2}}}-\sqrt{2}$
• D． ${2^{\frac{n-2}{2}}}-\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求出a_n與a_n+1的關(guān)系，判斷數(shù)列的特征，即可求解前n項(xiàng)和．

解答 解：因?yàn)辄c(diǎn)（$\sqrt{a_n}$，$\sqrt{{a_{n-1}}}$）在直線x-$\sqrt{2}$y=0上，
所以$\sqrt{a_n}$-$\sqrt{2}$×$\sqrt{{a_{n-1}}}$=0，即a_n=2a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
它的前n項(xiàng)和為：S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，等比數(shù)列的判斷，考查計(jì)算能力．