Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lnx|，0＜x≤e\\ f（2e-x），e＜x＜2e\end{array}$設(shè)方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的四個(gè)實(shí)根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄，對(duì)于滿足條件的任意一組實(shí)根，下列判斷中一定成立的是（　�。�

• A． x₁+x₂=2
• B． e²＜x₃x₄＜（2e-1）²
• C． 0＜（2e-x₃）（2e-x₄）＜1
• D． 1＜x₁x₂＜e²

Answer 1

分析 方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的根可化為函數(shù)y=f（x）-2^-x與y=b圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作函數(shù)y=f（x）-2^-x的圖象分析即可．

解答 解：方程f（x）=2^-x+b（b∈R）的根可化為
函數(shù)y=f（x）-2^-x與y=b圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
作函數(shù)y=f（x）-2^-x的圖象，
由圖象可得，0＜x₁＜1＜x₂＜e＜x₃＜2e-1＜x₄＜2e，
故x₃•x₄＞e²；
易知|ln（2e-x₃）|＞|ln（2e-x₄）|，
即ln（2e-x₃）＞-ln（2e-x₄），
即ln（2e-x₃）+ln（2e-x₄）＞0，
即4e²-2e（x₃+x₄）+x₃•x₄＞1，
即2e（x₃+x₄）＜x₃•x₄+4e²-1，
∴x₃x₄＜（2e-1）²，∴${e^2}＜{x_3}{x_4}＜{（2e-1）^2}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了基本不等式的應(yīng)用．