Question

15．曲線x²-xy+2y+1=0（x＞2）上的點到x軸的距離的最小值為4+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 將曲線進行轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，利用基本不等式的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：由x²-xy+2y+1=0得x²+y（2-x）+1=0，
∵x＞2，
∴y=$\frac{{x}^{2}+1}{x-2}$，
令t=x-2，則t＞0，x=t+2
則函數(shù)等價為y=$\frac{（t+2）^{2}+1}{t}=\frac{{t}^{2}+4t+5}{t}$=t+$\frac{5}{t}$+4≥2$\sqrt{t•\frac{5}{t}}$+4=4+2$\sqrt{5}$，
當且僅當t=$\frac{5}{t}$，即t=$\sqrt{5}$時，函數(shù)取得最小值，
即點到x軸的距離的最小值為4+2$\sqrt{5}$，
故答案為：4+2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查曲線和方程的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)，利用換元法結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．