Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1時(shí)有極值10，
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若方程f（x）=m在區(qū)間[-1，2]內(nèi)有解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先對(duì)f（x）求導(dǎo)，然后由題設(shè)在x=1時(shí)有極值10可得

f′(1)=0 f(1)=10

，解方程得出a，b的值．
（II）由題意可得方程f（x）=m在區(qū)間[-1，2]內(nèi)有解，用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的治愈，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)得 f′（x）=3x²+2ax+b，
又∵在x=1時(shí)f（x）有極值10，
∴得

f′(1)=0 f(1)=10

，即

3+2a+b=0 1+a+b+a2=10

，
解得

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

，
驗(yàn)證知，當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，在x=1無極值，
∴

a=4 b=-11

．
（2）由（1）得f（x）=x³+4x²-11x+16，
∴f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
又f（-1）=30，f（1）=10，f（2）=18，
∴f（x）∈[10，30]，
∵方程f（x）=m在區(qū)間[-1，2]內(nèi)有解，
∴m∈[10，30]．

點(diǎn)評(píng)：掌握函數(shù)極值存在的條件，考查利用函數(shù)的極值存在的條件求參數(shù)的能力及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值知識(shí)．