Question

2．江蘇高考新方案采用“3+3”模式，語(yǔ)數(shù)外三門(mén)必考，然后在物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理六門(mén)學(xué)科中任選三門(mén)進(jìn)行測(cè)試，現(xiàn)有甲、乙、丙三人進(jìn)行模擬選擇：甲的物理非常優(yōu)秀，所以甲必要選擇物理，其余兩門(mén)隨機(jī)選擇；乙的政治比較薄弱，所以乙一定不選政治，其余隨機(jī)選擇；丙的各門(mén)成績(jī)比較平均，所以丙隨機(jī)選擇三門(mén)．
（1）則甲、乙、丙三人分別有多少種選擇方法；
（2）三人中恰有2人選擇物理的概率；
（3）隨機(jī)變量ε表示三人中選擇物理的人數(shù)，寫(xiě)出ε的概率分布及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用組合數(shù)公式能求出甲、乙、丙三人分別有多少種選擇方法．
（2）由排列組合知識(shí)能求出三人中恰有2人選擇物理的概率．
（3）由題意知ε的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ε的概率分布及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵甲、乙、丙三人在物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理六門(mén)學(xué)科中任選三門(mén)進(jìn)行測(cè)試，
甲的物理非常優(yōu)秀，所以甲必要選擇物理，其余兩門(mén)隨機(jī)選擇，故甲有$C_5^2=10$種選擇方法，
乙的政治比較薄弱，所以乙一定不選政治，其余隨機(jī)選擇，故乙有$C_5^2=10$種選擇方法，
丙的各門(mén)成績(jī)比較平均，所以丙隨機(jī)選擇三門(mén)，故丙有$C_6^3=20$種選擇方法．
（2）三人中恰有2人選擇物理的概率p=$\frac{C_4^1C_5^3}{C_5^2C_6^3}+\frac{C_4^2C_5^2}{C_5^2C_6^3}=\frac{1}{2}$．
（3）由題意知ε的可能取值為1，2，3，
$P（{ε=1}）=\frac{C_4^3C_5^3}{C_5^2C_6^3}=\frac{1}{5}$，
P（ε=2）=$\frac{C_4^1C_5^3}{C_5^2C_6^3}+\frac{C_4^2C_5^2}{C_5^2C_6^3}=\frac{1}{2}$，
$P（{ε=3}）=\frac{C_4^2C_5^2}{C_5^2C_6^3}=\frac{3}{10}$，
∴ε的分布列為：

ε	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$

E（ε）=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{3}{10}$=$\frac{21}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．