Question

5．已知函數(shù)f（x）=|ax-2|+|ax-a|
（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若存在x∈R，使f（x）＜2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的意義求出x的范圍即可；（2）求出f（x）的最小值，問題等價于f（x）_min=|a-2|≤2，解不等式即可．

解答 解：（1）a=1時，不等式為|x-2|+|x-1|≥2，
此不等式的幾何意義可解析為數(shù)軸上的點x到1，2的距離之和大于等于2，
∴x≥$\frac{5}{2}$或x≤$\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集是{x|x≤$\frac{1}{2}$或x≥$\frac{5}{2}$}；
（2）∵f（x）=|ax-2|+|ax-a|≥|（ax-2）+（a-ax）|=|a-2|，
∵f（1）=|a-2|，∴f（x）_min=|a-2|，
∴存在x∈R，使得f（x）＜0等價于f（x）_min=|a-2|≤2，
∴實數(shù)a的范圍是[0，4]．

點評 本題考查了絕對值不等式的意義，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．