Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-a|．
（1）當a=2時，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）不等式f（x）＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；（2）通過討論a的范圍，求出滿足條件的a的值即可．

解答 解：（1）由題知：|x-2|+|x-2|≥4，
∴|x-2|≥2，∴x-2≥2或x-2≤-2，
故不等式的解集為{x|x≤0或x≥4}．
（2）由題意知$\left\{\begin{array}{l}f（0）≥4\\ f（4）≥4\end{array}\right.$，代入得$\left\{\begin{array}{l}2+|a|≥4\\ 2+|{4-a}|≥4\end{array}\right.$，
解得a≤-2或a=2或a≥6，又|x-2|+|x-a|≥|2-a|．
①當a≤-2時，|2-a|≥4，所以f（x）≥4恒成立，
f（x）＜4解集為空集，不合題意；
②當a=2時，由（1）可知解集為（0，4），符合題意；
③當a≥2時，|2-a|≥4，所以f（x）≥4恒成立，
f（x）＜4解集為空集，不合題意；
綜上所述，當a=2時，不等式f（x）＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，考查分類討論思想，是一道中檔題．