Question

9．已知F₁、F₂分別是離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₂的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₁的周長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若△ABF₁的面積為$\frac{4}{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的性質(zhì)可知：e=$\frac{c}{a}$，4a=4$\sqrt{2}$及b²=a²-b²即可求得a、b和c的值，求得橢圓的方程；
（2）由題意設(shè)出直線方程x=ny+1，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由三角形的面積公式寫出面積，求得n的值，則直線方程可求．

解答 解：由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²=2c²，
△ABF₁的周長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$．即4a=4$\sqrt{2}$．
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，
由b²=a²-b²=2-1=1，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，
當(dāng)x=1時(shí)，y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，丨AB丨=$\sqrt{2}$，
△ABF₁的面積S=$\frac{1}{2}$×2c×丨AB丨=$\sqrt{2}$，不成立，
當(dāng)斜率存在，過點(diǎn)F₂（1，0）直線AB的方程為x=ny+1，
將直線方程代入橢圓方程，得（2+n²）y²+2ny-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{-2n}{2+{n}^{2}}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{2+{n}^{2}}$，
丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{n}^{2}}}{2+{n}^{2}}$，
△ABF₁的面積S=$\frac{1}{2}$×2c×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{n}^{2}}}{2+{n}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{n}^{2}}}{2+{n}^{2}}$，
$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{n}^{2}}}{2+{n}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，整理得：2n⁴-n²-1=0，解得：n²=1，n=±1，
故直線方程為y-x+1=0或-y-x+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想，推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．