Question

若定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）是[0，+∞）上的遞增函數(shù)，則不等式f（log₂x）＜f（-1）的解集是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，2）
• B、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• C、R
• D、（-2，2）

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則在對(duì)稱區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減．所以f（-1）=f（1），所以討論log₂x在區(qū)間[0，+∞）和（-∞，0）兩種情況，所以log₂x≥0即x≥1時(shí)，為了用上函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增的條件，將原不等式變成，f（log₂x）＜f（1），根據(jù)單調(diào)性，所以得到log₂x＜1，x＜2，所以1≤x＜2，同樣的辦法，求出log₂x＜0時(shí)的原不等式的解，這兩種情況所得的解求并集即可．

解答：解：根據(jù)已知條件知：y=f（x）在（-∞，0）是減函數(shù)，f（-1）=f（1）；
∴①若log₂x≥0，即x≥1，由原不等式得：f（log₂x）＜f（1）；
∴l(xiāng)og₂x＜1，x＜2；
∴1≤x＜2；
②若log₂x＜0，即0＜x＜1，f（log₂x）＜f（-1）；
∴l(xiāng)og₂x＞-1，x＞

1

2

；
∴

1

2

＜x＜1；
綜上得原不等式的解集為(

1

2

，2)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：考查偶函數(shù)的概念，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性的特點(diǎn)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．