Question

已知函數(shù)f（x）=sinx-

3

cosx，若f（x₁）•f（x₂）=-4，則|x₁+x₂|的最小值為（　　）

• A、

  π

  3

• B、

  π

  2

• C、

  2

  3

  π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用三角恒等變換可得f（x）=2sin（x-

π

3

），依題意知2sin（x₁-

π

3

）•sin（x₂-

π

3

）=-2，利用積化和差公式可得cos（x₁-x₂）-cos（x₁+x₂-

2π

3

）=2，從而可得cos（x₁+x₂-

2π

3

）=-1，于是可求|x₁+x₂|的最小值．

解答：解：∵f（x）=sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）=2sin（x-

π

3

），
又f（x₁）•f（x₂）=-4，
即2sin（x₁-

π

3

）•2sin（x₂-

π

3

）=-4，
∴2sin（x₁-

π

3

）•sin（x₂-

π

3

）=-2，
cos（x₁-x₂）-cos（x₁+x₂-

2π

3

）=-2，
∴cos（x₁-x₂）=-1，cos（x₁+x₂-

2π

3

）=1，
∴x₁-x₂=2mπ+π，x₁+x₂-

2π

3

=2nπ，m，n∈Z．
∴x₁+x₂=2nπ+

2π

3

（n∈Z），
顯然，當(dāng)n=0時(shí)，|x₁+x₂|的最小值為

2π

3

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，著重考查積化和差公式與余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．